【题目】如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.
市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了
人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过
元）：
消费金额（单位：百元） |
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频数 |
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由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额
（单位：元）近似地服从正态分布
，其中
近似为样本平均数
（每组数据取区间的中点值，
）.现从该市任取
名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在
元至
元之间的人数为
，求的数学期望；
市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第
格、第
格、第
格、…、第
格共
个方格.棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是
，其中
），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从
到
），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到
）.重复多次，若这枚棋子最终停在第
格，则认为“闯关成功”，并赠送
元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.
①设棋子移到第
格的概率为
，求证：当
时，
是等比数列；
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.
参考数据：若随机变量
服从正态分布，则
，
，
.
【答案】
；
①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.
【解析】
根据数据算出
，由
服从正态分布
，算出概率，即
，进而算出
的数学期望；
①棋子开始在第
格为必然事件，
.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第
格，其概率为
，即
.棋子移到第
格的情况是下列两种，即棋子先到第
格，又掷出反面，其概率为
；棋子先到第
格，又掷出正面，其概率为
.所以
.即
，进而求证当
时，
是等比数列；②由①知
，
，
，
，
，得
，所以
，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率.
解：
，
因为服从正态分布，所以
.
所以，
所以的数学期望为
.
①棋子开始在第格为必然事件，.
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.
棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：
棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；
棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，
所以，
即，且
，
所以当时，数列是首项，公比为
的等比数列.
②由①知，，，，，
以上各式相加，得，
所以.
所以闯关成功的概率为
，
闯关失败的概率为
.
，
所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.
阳光课堂课时作业系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗
、
、
．经过引种实验发现，引种树苗的自然成活率为
，引种树苗、的自然成活率均为
．
（1）任取树苗、、各一棵，估计自然成活的棵数为
，求的分布列及其数学期望；
（2）将（1）中的数学期望取得最大值时
的值作为种树苗自然成活的概率．该农户决定引种
棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗有
的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为
，其余的树苗不能成活．
①求一棵种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗引种最终成活可获利
元，不成活的每棵亏损
元，该农户为了获利期望不低于
万元，问至少要引种种树苗多少棵？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某中学的十佳校园歌手有6名男同学，4名女同学，其中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的7个班，现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会，则选出的3名同学来自不同班级的概率为_____，设X为选出3名同学中女同学的人数，则该变量X的数学期望为_____．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知抛物线
上横坐标为
的点到焦点的距离为
.
（1）求抛物线
的方程；
（2）若过点
的直线与抛物线交于不同的两点
，且以
为直径的圆过坐标原点
，求
的面积。
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在四棱柱
中，平面
平面
，
是边长为2的等边三角形，
，
，
，点
为
的中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
（Ⅲ）在线段
上是否存在一点
，使直线
与平面
所成的角正弦值为
，若存在求出
的长，若不存在说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第
位，也就是
和
之间，这一成就比欧洲早了
多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线、交于
、
两点，
是曲线上的动点，求
面积的最大值.
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