Question

已知函数f（x）=（ex+1）（lnx-1）（e为自然对数的底数）．
（I）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若点P（e，f（e）），且点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））满足条件：（1-lnx₁）（1-lnx₂）=1（x₁≠x₂）．判断A，B，P三点是否可以构成直角∠APB？请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（I）易求k=f′（1）=1，又f（1）=-（e+1），利用直线的点斜式方程即可求得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）f′（x）=

exlnx+1

x

，构造函数g（x）=exlnx+1（x＞0），利用导数可求得x＞0时，g（x）≥0，即f′（x）≥0恒成立，可求得函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）分析知，点A，B不与P重合，利用向量的数量积可求得

PA

•

PB

=（e²+1）（x₁x₂+1）＞0，可知点A，B，P三点构成锐角∠APB，而不能构成直角三角形．

解答： 解：（I）f（x）=（ex+1）（lnx-1），f′（x）=e（lnx-1）+

ex+1

x

=elnx+

1

x

=

exlnx+1

x

…1分
f′（1）=1，又f（1）=-（e+1），
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：y+（e+1）=x-1，即x-y-e-2=0…3分
（Ⅱ）由（I）令g（x）=exlnx+1（x＞0），
则g′（x）=e（lnx+1），令g′（x）=0，得x=

1

e

…5分
当0＜x＜

1

e

时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；当x＞

1

e

时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
故x＞0时，g（x）≥0，即f′（x）≥0恒成立．
所以函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
（Ⅲ）若x₁=e，则（1-lnx₁）（1-lnx₂）=0，与条件（1-lnx₁）（1-lnx₂）=1不符，
从而x₁≠e，同理可得x₂≠e．
由上可得点A，B不与P重合…10分

PA

•

PB

=（x₁-e，f（x₁））•（x₂-e，f（x₂））
=（x₁-e）（x₂-e）+（ex₁+1）（ex₂+1）（lnx₁-1）（lnx₂-1）
=（e²+1）（x₁x₂+1）…13分
因为x₁，x₂＞0，
所以

PA

•

PB

＞0，
故点A，B，P三点构成锐角∠APB，所以点A，B，P三点不能构成直角∠APB，…14分

点评：本题考查利用导数研究曲线上一点的切线方程，着重考查利用导数研究函数的单调性，考查构造函数思想与综合运算能力，考查转化思想．