Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}，0≤x≤1}\\{-{x}^{2}，-1≤x＜0}\end{array}\right.$，则函数f（x）的图象与直线y=x围成的封闭图形的面积为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 首先画出函数图象，找出函数f（x）的图象与直线y=x围成的封闭图形，利用定积分表示出其面积，然后计算即可．

解答 解：由题意，函数f（x）的图象与直线y=x围成的封闭图形如图阴影部分，
曲线y=2x-x²与直线y=x的交点坐标为（0，0），（1，1）
∴曲线y=-x²与直线y=x的交点为（0，0），（-1，-1），
所以函数f（x）的图象与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=${∫}_{-1}^{0}（-{x}^{2}-x）dx+{∫}_{0}^{1}（2x-{x}^{2}-x）dx$=（-$\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}$）|${\;}_{-1}^{0}$+（$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$；
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查定积分知识的运用，关键是画出图形，利用定积分表示封闭图形的面积．