Question

18．给出下列3个命题：
①命题“存在x∈R，x²+1＞3x”的否定是“任意x∈R，x²+1≤3x”；
②“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；
③关于x的不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集为R，则m≤4．
其中为真命题的序号是①③．

Answer 1

分析 由条件利用不等式的基本性质，两条直线的位置关系逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：命题“存在x∈R，x²+1＞3x”的否定是“任意x∈R，x²+1≤3x”，故①为真命题．
由“m=-2”可以推出“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”，
由“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”，可得m=-2 或$\frac{m+2}{-m}•\frac{2-m}{m+2}$=-1，即 m=-2或m=1，不能推出m=-2，
故“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分不必要条件，故②不正确．
由于|x+1|+|x-3|≥4，故当关于x的不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集为R时，m≤4，故③正确，
故答案为：①③．

点评 本题主要考查命题的真假的判断，不等式的基本性质，两条直线的位置关系，属于中档题．