Question

13．求下列函数的值域：
（1）y=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$；
（2）y=x-$\sqrt{1-2x}$；
（3）y=$\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}$（x＞1）；
（4）y=$\frac{1}{\sqrt{x-{x}^{2}}}$．

Answer 1

分析 （1）由函数式，解得x²，令x²≥0，即可得到值域；（2）求得定义域，运用函数的单调性，可得值域；
（3）运用基本不等式，可得值域；运用二次函数的值域求法，可得所求值域．

解答 解：（1）y=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$，即为x²=$\frac{-1-y}{y-1}$，
由x²≥0，解得-1≤y＜1．
即值域为[-1，1）；
（2）y=x-$\sqrt{1-2x}$（x≤$\frac{1}{2}$），
由y=x，y=-$\sqrt{1-2x}$在（-∞，$\frac{1}{2}$]递增，
即有函数y=x-$\sqrt{1-2x}$在（-∞，$\frac{1}{2}$]递增，则y≤$\frac{1}{2}$，
故值域为（-∞，$\frac{1}{2}$]；
（3）由x＞1，即x-1＞0，
则y=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$≥2，
当x=2时，取得最小值2．
则值域为[2，+∞）；
（4）由x-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
可得0＜$\sqrt{x-{x}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
则y≥2，
即有值域为[2，+∞）．

点评 本题考查函数的值域的求法，注意运用单调性和基本不等式等方法，考查运算能力，属于中档题．