Question

已知函数.
⑴求函数的单调区间；
⑵如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围.

Answer 1

⑴单调递增区间为，单调递减区间⑵实数的取值范围是

试题分析：⑴求出函数的导数令其大于零得增区间，令其小于零得减函数；⑵令，要使总成立，只需时，对讨论,利用导数求的最小值.
试题解析：(1) 由于，所以
.       (2分)
当，即时，；
当，即时，.
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为.                         (6分)
(2) 令，要使总成立，只需时.
对求导得，
令，则，()
所以在上为增函数，所以.                       (8分)
对分类讨论：
① 当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立；
② 当时，在上有实根，因为在上为增函数，所以当时，，所以，不符合题意；
③ 当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意.
综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.                    (12分)