Question

5．设函数f（x）=lnx+1．
（1）已知函数$F（x）=f（x）+\frac{1}{4}{x^2}-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}$，求函数F（x）的极值；
（2）已知函数G（x）=f（x）+ax²-（2a+1）x+a（a＞0）．若存在实数m∈（2，3），使得当x∈（0，m]时，函数G（x）的最大值为G（m），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，确定函数的单调性，即可求函数F（x）的极值；
（2）由题意分别求出函数的导数，再分类讨论，最后确定出实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意，F′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$=$\frac{（x-1）（x-2）}{2x}$，
∴函数在（0，1），（2，+∞）上单调递增，（1，2）上单调递减，
∴函数在x=1处取得极大值0，x=2处取得极小值ln2-$\frac{3}{4}$；
（2）G（x）=lnx+1+ax²-（2a+1）x+a（a＞0）．
∴G′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-（2a+1）=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$=0，
∴x=$\frac{1}{2a}$或x=1．
①0＜$\frac{1}{2a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$，函数在（0，$\frac{1}{2a}$），（1，m）上单调递增，（$\frac{1}{2a}$，1）上单调递减，
∵存在实数m∈（2，3），使得当x∈（0，m]时，函数G（x）的最大值为G（m），
∴G（3）＞G（$\frac{1}{2a}$），∴代入化简得ln$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{4a}$-3a+2-ln3＜0
令h（a）=ln$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{4a}$-3a+2-ln3，a＞$\frac{1}{2}$，
∵h′（a）=-$\frac{1}{4a}$（$\frac{1}{a}$-4）-3＜0恒成立，
故恒有h（a）＜h（$\frac{1}{2}$）=-ln3＜0，
∴a＞$\frac{1}{2}$时，ln$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{4a}$-3a+2-ln3＜0恒成立；
②m＞$\frac{1}{2a}$＞1，即$\frac{1}{6}$＜a＜$\frac{1}{2}$，函数在（0，1），（$\frac{1}{2a}$，m）上单调递增，（1，$\frac{1}{2a}$）上单调递减，
∵存在实数m∈（2，3），使得当x∈（0，m]时，函数G（x）的最大值为G（m），
∴G（3）＞G（1），∴代入化简得ln3-2+4a＞0
∴a＞$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$ln3，
∴$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$ln3＜a＜$\frac{1}{2}$时，满足题意；
③$\frac{1}{2a}$=1，即a=$\frac{1}{2}$时，满足题意；
综上所述，求实数a的取值范围是a＞$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$ln3．

点评 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，构造函数，研究函数的单调性、极值和最值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．