Question

某运动队拟在2015年3月份安排5次体能测试，规定：依次测试，只需有一次测试合格就不必参加后续的测试．已知运动员小刘5次测试每次合格的概率依次构成一个公差为

1

9

的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过

4

9

，且他直到第二次测试才合格的概率为

8

27

．
（Ⅰ）求小刘第一次参加测试就合格的概率；
（Ⅱ）在小刘参加第一、第二次测试均不合格的前提下，记小刘参加后续测试的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设小刘五次参加测试合格的概率依次为p，p+

1

9

，p+

2

9

，p+

3

9

，p+

4

9

(p≤

4

9

)，通过(1-p)(p+

1

9

)=

4

27

，求解p即可．
（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，得到ξ的分布列，然后求解期望．

解答： 解：（Ⅰ）设小刘五次参加测试合格的概率依次为p，p+

1

9

，p+

2

9

，p+

3

9

，p+

4

9

(p≤

4

9

)，
则(1-p)(p+

1

9

)=

8

27

，
即27p²-24p+5=0，（3p-1）（9p-5）=0，
解得p=

1

3

或p=

5

9

（舍去）
所以小刘第一次参加测试就合格的概率为

1

3

．
（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ=1)=

1

3

+

2

9

=

5

9

=

45

81

，P(ξ=2)=(1-

5

9

)

6

9

=

24

81

，P(ξ=3)=(1-

5

9

)(1-

6

9

)=

12

81

，
所以ξ的分布列为

ξ	1	2	3
P	45 81	24 81	12 81

Eξ=1×

45

81

+2×

24

81

+3×

12

81

=

129

81

=

43

27

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．