Question

如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，2BN=AE，M是ND的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（1）在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图，并标上数据；
（2）求证：EM∥平面ABC；
（3）试问在边BC上是否存在点G，使GN⊥平面NED．若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）由题意画出正视图即可．
（2）证明FM

∥

.

EA，可得四边形EAFM是平行四边形，即有AF∥EM，又AF⊆平面ABC，从而证明EM∥平面ABC．
（3）用向量法，建立空间坐标系，依据题设条件直接给出点的坐标，用向量表示出位置关系对应的方程，进行求解，若解出的坐标存在于所要求的位置，则说明存在．

解答： 解：（1）正视图如图所示．（注：不标中间实线扣1分）…（2分）
（2）证明：俯视图和侧视图，得∠CAB=90°，
DC=3，CA=AB=2，EA=2，BN=1，EA⊥ABC，
EA∥DC∥NB．取BC的中点F，连接FM、EM，
则FM∥DC∥EA，且FM=

1

2

（BN+DC）=2．…（4分）
∴FM

∥

.

EA，
∴四边形EAFM是平行四边形，
∴AF∥EM，又AF⊆平面ABC，
∴EM∥平面ABC．…（7分）
（3）以A为原点，CA为x轴，AB为y轴，AE为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则有A（0，0，0），E（0，0，2），B（0，2，0），
D（-2，0，3），N（0，2，1），C（-2，0，0）．
设

ND

=（-2，-2，2），

NE

=（0，-2，1），

CB

=（2，2，0），

CN

=（2，2，1）．
假设在BC边上存在点G满足题意，
设

CG

=λ

CB

=（2λ，2λ，0），λ∈[0，1]，
则

GN

=

CN

-

CG

=（2，2，1）-（2λ，2λ，0）=（2-2λ，2-2λ，1），
∵GN⊥平面NED，
∴

GN • NE =0 GN • ND =0

，即

-4+4λ+1=0 -8+8λ+2=0

，
∴边BC上存在点D，满足CG=

3

4

CB时，GN⊥平面NED．…（12分）

点评：本题是一个立体几何综合题，主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间向量的应用，涉及到的定理与技巧较多，对答题者的空间感知能力，问题的转化能力要求较高，考查了转化思想，属于中档题．