Question

定义域为R的函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（4-x），且其导函数f′（x）满足（x-2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（　　）

A．f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）

B．f（2）＜f（2^a）＜f（log₂a）

C．f(2)＜f(log2a)＜f(2a)

D．f(log2a)＜f(2a)＜f(2)

Answer 1

分析：先根据条件求出函数的对称轴，再求出函数的单调区间，然后判定2、log₂a、2^a的大小关系，根据单调性即可得出结论．

解答：解：∵函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（4-x），
∴函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2-x），
∴函数f（x）的对称轴为x=2
∵导函数f′（x）满足（x-2）f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，（-∞，2）上单调递减
∵2＜a＜4
∴4＜2^a＜16
∵函数f（x）的对称轴为x=2
∴f（log₂a）=f（4-log₂a）
∵2＜a＜4，∴1＜log₂a＜2
∴2＜4-log₂a＜3
∴2＜4-log₂a＜2^a
∴f（2）＜f（4-log₂a）＜f（2^a），
∴f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a），
故选C

点评：本题考查利用导数确定函数的单调性，考查利用单调性比较大小，属于基础题．