Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+

a-2

2

x²-2ax-3．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-2，0]上的最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

（Ⅰ）a=1时，函数解析式为f(x)= 

1

3

x3-

1

2

x2- 2x-3其定义域为R．
f′（x）=x²-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．
同样，令f′（x）＜0，得（x+1）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．
所以f（x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数．
故f（x）在[-2，0]上的最小值是f（-2）与f（0）中的较小者．
f（-2）=-

8

3

-2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
所以f（x）在[-2，0]上的最小值为f（-2）=-

11

3

．
（Ⅱ）f′（x）=x²+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0．                         ①
当-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解为x＜2或x＞-a，
所以f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∝）；
当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（-∝，-a）和（2，+∞）；
当-a=2时，即a=-2，不等式①的解为x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2处连续所以f（x）的单调增区间是实数集R．
综上：
（1）当a＜-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∞）；
（2）当a＞-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，-a）和（2，+∞）；
（3）当a=-2时，f（x）在实数集R上的单调递增．