Question

6．在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，b₂+S₃=21，b₃=S₂．
（1）求a_n与b_n；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，求使不等式4T_n＞S₁₅成立的最小正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）通过设等差数列{a_n}的公差为d、等比数列{b_n}的公比为q（q＞0），利用b₂+S₃=21、b₃=S₂联立方程组计算可知q=d=3，进而计算可得结论；
（2）通过（1）及等比、等差数列的求和公式计算可知T_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$、S₁₅=360，代入化简即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q（q＞0），
则：b₂+S₃=b₂+3a₂=q+3（3+d）=21，q²=3+（3+d），
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{q+3d=12}\\{{q}^{2}-d=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{q=3}\\{d=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{q=-\frac{10}{3}}\\{d=\frac{46}{9}}\end{array}\right.$（舍），
∴数列{a_n}是首项、公差均为3的等差数列，数列{b_n}是首项为1、公比为3的等比数列，
∴a_n=3n，b_n=3^n-1；
（2）由（1）可知T_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，S₁₅=$\frac{15（{a}_{1}+{a}_{15}）}{2}$=360，
∴不等式4T_n＞S₁₅成立等价于4×$\frac{{3}^{n}-1}{2}$＞360，即3ⁿ＞181，
∵3⁴=81＜181＜3⁵=243，
∴满足条件的最小正整数n=5．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．