Question

20．若关于x的不等式x²+ax-c＜0的解集为{x|-2＜x＜1}，且函数$y=a{x^3}+m{x^2}+x+\frac{c}{2}$在区间$（{\frac{1}{2}，1}）$上不是单调函数，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（-2，-\sqrt{3}）$
• B． $[{-3，-\sqrt{3}}]$
• C． $（{-∞，-2}）∪（{\sqrt{3}，+∞}）$
• D． $（{-∞，-2}）∪（{-\sqrt{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 根据关于x的不等式x²+ax-c＜0的解集求出a，c的值，求出函数y的解析式，根据区间（$\frac{1}{2}$，1）上不是单调函数，可得y′=3x²+2mx+m=0在区间（$\frac{1}{2}$，1）上有解，且不是重解；构造函数，求导函数，确定函数的值域，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：关于x的不等式x²+ax-c＜0的解集为{x|-2＜x＜1}，
∴对应方程x²+ax-c=0的实数根为-2和1，
由根与系数的关系知a=-（-2+1）=1，c=-（-2）×1=2；
∴函数$y=a{x^3}+m{x^2}+x+\frac{c}{2}$=x³+mx²+x+1，
∴y′=3x²+2mx+1；
又函数y=x³+mx²+x+1在区间（$\frac{1}{2}$，1）上不是单调函数，
∴y′=3x²+2mx+1在区间（$\frac{1}{2}$，1）上有正有负，
可以转化为3x²+2mx+1=0（*）在区间（$\frac{1}{2}$，1）上有解，且不是重解
∴由3x²+2mx+1=0，可得2m=-3x-$\frac{1}{x}$；
令f（x）=-3x-$\frac{1}{x}$，其中$\frac{1}{2}$＜x＜1，
且f'（x）=-3+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
令f'（x）=0，得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）时，f'（x）＞0，f（x）递增，
x∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减，
∴f（x）_max=f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=-2$\sqrt{3}$；
∵f（1）=-4，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{7}{2}$，
∴f（x）的值域为（-4，-2$\sqrt{3}$]，
∴2m∈（-4，-2$\sqrt{3}$]，
∴m∈（-2，-$\sqrt{3}$]；
又当m=-$\sqrt{3}$时，（*）中△=0，有2个相等的根，不合题意，
∴m的范围是（-2，-$\sqrt{3}$）．
故选：A．

点评 本题考查了一元二次不等式的运用研究导数知识的运用问题，正确运用导数求出函数的值域是解题的关键．