Question

已知F是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，点M（4，2），P是抛物线上的任意一点，|PM|+|PF|的最小值为5．
（1）求该抛物线的方程；
（2）设过点F，斜率为1的直线与抛物线交于A、B两点，当|PM|+|PF|取得最小值时，求：
①△PAB的面积；
②△AOB（O是坐标原点）外接圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得4+

p

2

=5，由此能求出抛物线的方程．
（2）①当|PM|+|PF|取得最小值时，点P为过M点且垂直于准线的直线与抛物线的交点，从而P（1，2），过点F（1，0）斜率为1的直线方程为y=x-1，由

y2=4x y=x-1

，得x²-6x+1=0，由此椭圆弦长公式和点到直线的距离公式能求出△PAB的面积．
②解方程x²-6x+1=0，得A（3+2

2

，2+2

2

），B（3-2

2

，2-2

2

），从而AB有中垂线的方程为x+y-5=0，OA的中垂线方程为：y-（1+

2

）=（-

1

2

-

2

2

）（x-

3

2

-

2

），由此能示出△AOB外接圆方程．

解答： 解：（1）∵抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，
∴|PM|+|PF|=|PM|+P到准线的距离
≤M到到准线的距离
=4+

p

2

=5，
解得p=2，∴抛物线的方程y²=4x．
（2）①当|PM|+|PF|取得最小值时，
点P为过M点且垂直于准线的直线与抛物线的交点，
∴P（x_P，2），∴2²=4x_P，解得x_P=1，
∴P（1，2），
过点F（1，0）斜率为1的直线方程为y=x-1，
由

y2=4x y=x-1

，得x²-6x+1=0，
△=36-4=32＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
∴|AB|=

(1+1)(36-4)

=8，
点P（1，2）到直线AB：y=x-1的距离d=

|1-2-1|

2

=

2

，
∴△PAB的面积S_△PAB=

1

2

×

2

×8=4

2

．
②解方程x²-6x+1=0，得x1=3+2

2

，x₂=3-2

2

，
∴A（3+2

2

，2+2

2

），B（3-2

2

，2-2

2

），
∴AB的中点坐标为（3，2），
k_AB=

4 2

4 2

=1，∴AB有中垂线的方程为：y-2=-（x-3），即x+y-5=0．①
OA有中点（

3

2

+

2

，1+

2

），k_OA=

1+ 2

3 2 + 2

=2

2

-2，
∴OA的中垂线方程为：y-（1+

2

）=（-

1

2

-

2

2

）（x-

3

2

-

2

），②
联立①②得△AOB外接圆圆心为：（

7+8 2

2

，

3-8 2

2

），
外接圆半径r=

( 7+8 2 2 -3-2 2 )2+( 3-8 2 2 -2-2 2 )2

=

161+16 2 2

，
∴△AOB（O是坐标原点）外接圆的方程：
（x-

7+8 2

2

）²+（y-

3-8 2

2

）²=

161+16 2

2

．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的求法，考查三角形外接圆方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．