Question

求满足下列条件的点的轨迹方程
①已知动圆过定点P（1，0）且与直线l：x=-1相切，求动圆圆心M的轨迹方程．
②已知△ABC的周长为16，B（-3，0），C（3，0）求顶点A的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①由题意可得圆心M到点P的距离等于它到直线l的距离，可知圆心M的轨迹是以P为焦点，直线l为准线的抛物线，设出抛物线方程，求出p后得答案；
②由△ABC的周长为16，结合B（-3，0），C（3，0），可得|AB|+|AC|=10，从而得到点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，并求得a，c的值，代入b²=a²-c²求出b后得到顶点A的轨迹方程．

解答： 解：①由题意得：圆心M到点P的距离等于它到直线l的距离，
∴圆心M的轨迹是以P为焦点，直线l为准线的抛物线．
设圆心M的轨迹方程为y²=2px（p＞0）（p＞0）．
∵

p

2

=1，
∴p=2．
∴圆心M的轨迹方程为：y²=4x；
（2）∵|AB|+|AC|+|BC|=16，
∴|AB|+|AC|=10．
∴点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆．
∴2a=10，
a=5．
又c=3，
∴b²=a²-c²=16．
∴顶点A的轨迹方程为：

x2

25

+

y2

16

=1 （y≠0）．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，训练了利用抛物线和椭圆的定义求其方程，是中档题．