Question

已知抛物线C的顶点为坐标原点，其焦点F（c，0）（c＞0）到直线l：x-y+2=0的距离为

3 2

2

．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若M是抛物线C上异于原点的任意一点，圆M与y轴相切．
（i）试证：存在一定圆N与圆M相外切，并求出圆N的方程；
（ii）若点P是直线l上任意一点，A，B是圆N上两点，且

AB

=λ

BN

，求

PA

•

PB

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设抛物线C的方程为y²=4cx，由

|c-0+2|

2

=

3 2

2

，能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）（i）设圆M与y轴的切点是点M′，连结MM′交抛物线C的准线于点M''，则|MF|=|MM''|=r_M+1，由已知条件推导出圆N即为圆F，由此能求出圆N的方程．
（ii）由

AB

=λ

BN

，知AB为圆N直径，由此能求出

PA

•

PB

的取值范围．

解答： （Ⅰ）解：依题意，设抛物线C的方程为y²=4cx，
由

|c-0+2|

2

=

3 2

2

，结合c＞0，解得c=1．
所以抛物线C的方程为y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）（i）证明：设圆M与y轴的切点是点M′，
连结MM′交抛物线C的准线于点M''，则|MF|=|MM''|=r_M+1，
所以圆M与以F为焦点，1为半径的圆相切，圆N即为圆F，
圆N的方程为（x-1）²+y²=1．…（8分）
（ii）解：由

AB

=λ

BN

，知AB为圆N直径，…（9分）
从而

PA

•

PB

=（

PN

+

NA

）•（

PN

+

NB

）
=

PN

2+

PN

•（

NA

+

NB

）+

NA

•

NB

=

PN

2-1≥（

3 2

2

）²-1=

7

2

．
所以

PA

•

PB

的取值范围是[

7

2

，+∞）．…（13分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查两圆外切的证明，考查圆的方程的求法，考查向量数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．