Question

已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（-3，

3

）．
（Ⅰ）求sin2α-tanα的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，求函数y=

3

f（

π

2

-2x）-2f²（x）在区间[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考点：任意角的三角函数的定义,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用任意角的三角函数的定义，求出α的三角函数值，通过二倍角的正弦求解即可．
（2）利用两角和与差的三角函数化简表达式，结合角的范围求解三角函数的值域即可．

解答： 解：（Ⅰ）因为角α终边经过点P(-3，

3

)，
所以sinα=

1

2

，cosα=-

3

2

，tanα=-

3

3

…（3分）
∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=-

3

2

+

3

3

=-

3

6

…（6分）
（Ⅱ） f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα=cosx，x∈R
∴y=

3

cos(

π

2

-2x)-2cos2x=

3

sin2x-1-cos2x=2sin(2x-

π

6

)-1…（9分）
∵0≤x≤

1

2

π，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1，
∴-2≤2sin(2x-

π

6

)-1≤1
故函数y=

3

f(

π

2

-2x)-2f2(x)在区间[0，

1

2

π]上的值域为[-2，1]．…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，三角函数的定义的应用，考查基本知识的应用．