Question

已知数列{a_n}，a_n≥0，a₁=0，a_n+1²+a_n+1-1=a_n²（n∈N⁺）．请用数学归纳法证明：当n∈N⁺时，a_n＜a_n+1．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：对于n∈N^•时的命题，考虑利用数学归纳法证明．

解答： 证明：用数学归纳法证明．
①当n=1时，因为a₂是方程x²+x-1=0的正根，所以a₁＜a₂．
②假设当n=k（k∈N^*）时，a_k＜a_k+1，
因为a_k+1²-a_k²=（a_k+2²+a_k+2-1）-（a_k+1²+a_k+1-1）=（a_k+2-a_k+1）（a_k+2+a_k+1+1），
所以a_k+1＜a_k+2．
即当n=k+1时，a_n＜a_n+1也成立．
根据①和②，可知a_n＜a_n+1对任何n∈N^*都成立．

点评：本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．