Question

12．已知函数$f（x）=lg（{\frac{a-x}{3+x}}）$为奇函数，
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）是否存在这样的实数k，使f（k-cosθ）+f（cos²θ-k²）≥0对一切θ∈R恒成立，若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得f（0）=0，由此求得a的值．
（2）利用减函数的定义证明 f（x）是（-3，3）上的减函数．
（3）根据f（k-cosθ）≥f（k²-cos²θ），f（x）是（-3，3）上的减函数，可得 $\left\{\begin{array}{l}{k-cosθ{≤k}^{2}{-cos}^{2}θ}\\{-3＜k-cosθ＜3}\\{-3{＜k}^{2}{-cos}^{2}θ＜3}\end{array}\right.$ 对任意的实数θ恒成立，由此分类求得k的范围，综合可得结论．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=lg（{\frac{a-x}{3+x}}）$为奇函数，定义域中包含0，故有f（0）=0，
即lg$\frac{a}{3}$=0，∴a=3．
（2）由（1）可得f（x）=lg$\frac{3-x}{3+x}$，根据$\frac{3-x}{3+x}$＞0，求得-3＜x＜3，故函数的定义域为（-3，3）．
（2）任取${x_1}，{x_2}∈（{-3，3}），且{x_1}＜{x_2}，f（{x_1}）-f（{x_2}）=lg（{\frac{{3-{x_1}}}{{3+{x_1}}}}）-lg（{\frac{{3-{x_2}}}{{3+{x_2}}}}）$=$lg\frac{{（{3-{x_1}}）（{3+{x_2}}）}}{{（{3+{x_1}}）（{3-{x_2}}）}}=lg\frac{{9+3（{{x_2}-{x_1}}）-{x_1}{x_2}}}{{9+3（{{x_1}-{x_2}}）-{x_1}{x_2}}}$，
∵9+3（x₂-x₁）-x₁x₂＞9-x₁x₂＞0，∴$\frac{{9+3（{{x_2}-{x_1}}）-{x_1}{x_2}}}{{9+3（{{x_1}-{x_2}}）-{x_1}{x_2}}}＞1⇒f（{x_1}）-f（{x_2}）＞0⇒f（{x_1}）＞f（{x_2}）$，
∴f（x）是（-3，3）上的减函数．
（3）∵f（k-cosθ）≥-f（cos²θ-k²）=f（k²-cos²θ），f（x）是（-3，3）上的减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k-cosθ{≤k}^{2}{-cos}^{2}θ}\\{-3＜k-cosθ＜3}\\{-3{＜k}^{2}{-cos}^{2}θ＜3}\end{array}\right.$  对任意的实数θ恒成立．
由k-cosθ≤cos²θ-k²，可得k-k²≤cosθ-cos²θ对任意的实数θ恒成立．
令y=cosθ-cos²θ=-${（cosθ-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$，故当cosθ=-1时，y取得最小值为-2，∴k-k²≤-2，
求得k≤-1，或 k≥2 ①．
同理：由-3＜k-cosθ＜3对θ∈R恒成立得：-2＜k＜2 ②．
由-3＜cos²θ-k²＜3对θ∈R恒成立得：$-\sqrt{3}＜k＜\sqrt{3}$  ③．
综合①②③可得，$-\sqrt{3}＜k≤-1$，所以存在这样的k，其范围为$\left\{{k|-\sqrt{3}＜k≤-1}\right\}$．

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．