Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD=AP，CD=2AB，CD⊥平面APD，AB∥CD，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC的中点F，连接EF，BF，证明EF∥CD，EF∥AB，推出AE∥BF．然后证明AE∥平面PBC． 
（Ⅱ）证明CD⊥AE，AE⊥PD．推出AE⊥平面PCD，顶点BF⊥平面PCD，然后证明平面PBC⊥平面PCD．

解答 证明：（Ⅰ）取PC的中点F，连接EF，BF，…（1分）

因为E，F分别是PD，PC的中点，所以EF∥CD，且$EF=\frac{1}{2}CD$． …（2分）
又AB∥CD，$AB=\frac{1}{2}CD$，
所以EF∥AB，且EF=AB，…（3分）
即四边形ABFE为平行四边形，…（4分）
所以AE∥BF． …（5分）
因为BF?平面PBC，且AE?平面PBC，…（6分）
所以AE∥平面PBC． …（7分）
（Ⅱ）因为CD⊥平面APD，AE?平面APD，所以CD⊥AE，…（8分）
因为AD=AP，E为PD的中点，
所以AE⊥PD． …（9分）
又PD∩CD=D，
所以AE⊥平面PCD，…（10分）
由（Ⅰ）知，BF∥AE，
所以BF⊥平面PCD，…（11分）
又BF?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PCD． …（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．