Question

已知正项数列{a_n}中，a₁=2点A_n（

an

，

an_+

1）在双曲线y²-x²=1上，数列{b_n}中，点（b_n，T_n）在直线y=-

1

2

x+1上，其中T_n是数列的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）若c_n=a_nb_n，求证：c_n+1＜c_n．

Answer 1

分析：（1）把点A_n代入双曲线方程可得a_n+1-a_n=1可推断数列{a_n}是一个以2为首项，公差为1的等差数列，进而求得{a_n}的通项公式．
（2）把点（b_n，T_n）代入直线y=-

1

2

x+1可得T_n=-

1

2

b_n+1，进而可得到T_n-1两式相减可得b_n=

1

3

b_n-1，进而推断数列{b_n}是等比数列
（3）根据（1）（2）求得{a_n}的通项公式和数列{b_n}的通项公式，进而可得{c_n}的通项公式，进而可得c_n+1-c_n的表达式，根据表达式小于零，原式得证．

解答：解：（1）由已知点A_n（

an

，

an_+

1）在曲线y²-x²=1上知a_n+1-a_n=1．所以数列{a_n}是一个以2为首项，公差为1的等差数列，所以a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1
（2）证明：因为点（b_n，T_n）在直线y=-

1

2

x+1上，所以T_n=-

1

2

b_n+1①
T_n-1=-

1

2

b_n-1+1②
两式相减得b_n=-

1

2

b_n+

1

2

b_n-1
∴b_n=

1

3

b_n-1
令b=1得b₁=-

1

2

b₁+1所以b₁=

2

3

．
所以数列{b_n}是以

2

3

为首项，以

1

3

为公比的等比数列，所以b_n=

2

3

（

1

3

）^n-1=

2

3n

（3）证明：c_n=a_n•b_n=（n+1）•

2

3n

，所以
c_n+1-c_n=（n+2）•

2

3n+1

-（n+1）•

2

3n

=

2

3n+1

[（n+2）-3（n+1）]
=

2

3n+1

（n+2-3n-3）
=

2

3n+1

（-2n-1）＜0
故c_n+1＜c_n．

点评：本题主要考查了等比数列与直线、双曲线方程的综合运用．是近几年高考常考的类型．