Question

18．如图，圆内接四边形ABCD中，AD=DC=2BC=2，AB=3．
（1）求角A和BD；
（2）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）分别在△ABD与△BCD中，由余弦定理可得：BD²=2²+3²-2×2×3×cos∠BAD，BD²=2²+1²-2×2×1×cos∠BCD，又cos∠BAD=cos（π-∠BCD）=-cos∠BCD．即可得出．
（2）四边形ABCD的面积S=S_△ABD+S_△BCD．

解答 解：（1）分别在△ABD与△BCD中，由余弦定理可得：BD²=2²+3²-2×2×3×cos∠BAD，
BD²=2²+1²-2×2×1×cos∠BCD，又cos∠BAD=cos（π-∠BCD）=-cos∠BCD．
∴cos∠BAD=$\frac{1}{2}$．∴∠BAD=$\frac{π}{3}$．
BD²=13-12×$\frac{1}{2}$=7，解得BD=$\sqrt{7}$．
（2）四边形ABCD的面积S=S_△ABD+S_△BCD=$\frac{1}{2}×2×3×sin\frac{π}{3}$+$\frac{1}{2}×2×1×sin\frac{2π}{3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解三角形、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．