【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,函数f(x)=2cosxsin(x﹣A)+sinA(x∈R)在x= 处取得最大值.
(1)当 时,求函数f(x)的值域;
(2)若a=7且sinB+sinC= ,求△ABC的面积.
【答案】
(1)解:∵函数f(x)=2cosxsin(x﹣A)+sinA
=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA
=sin2xcosA﹣cos2xsinA+sinA=sin(2x﹣A)+sinA
又∵函数f(x)=2cosxsin(x﹣A)+sinA(x∈R)在 处取得最大值.
∴ ,其中k∈z,
即 ,其中k∈z,
∵A∈(0,π),∴A=
∵ ,∴2x﹣A
∴ ,即函数f(x)的值域为:
(2)解:由正弦定理得到 ,则sinB+sinC= sinA,
即 ,∴b+c=13
由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣2bc﹣2bccosA
即49=169﹣3bc,∴bc=40
故△ABC的面积为:S= .
【解析】(1)利用两角差的余弦公式和二倍角的正余弦公式,进行化简可得到f(x)=sin(2x﹣A)+sinA,由于f(x)在 x = 处取得最大值,即为A = ,再根据正弦函数的图象和性质可得出f(x)的值域,(2)根据正弦定理进行边角互化,可得出b+c=13,再根据余弦定理可得bc=40,根据面积公式即可得出结果.
【考点精析】认真审题,首先需要了解两角和与差的正弦公式(两角和与差的正弦公式:),还要掌握正弦定理的定义(正弦定理:)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.
问:
(1)折起后形成的几何体是什么几何体?
(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?
(3)每个面的三角形面积为多少?
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【题目】设函数f(x)= x3﹣ x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(1)求b,c的值;
(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间.
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【题目】已知两点F1(﹣2,0),F2(2,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是( )
A. + =1
B. + =1
C. + =1
D. + =1
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【题目】对于函数f(x),若存在区间A=[m,n],使得{y|y=f(x),x∈A}=A,则称函数f(x)为“可等域函数”,区间A为函数f(x)的一个“可等域区间”.给出下列四个函数: ①f(x)=sin x;②f(x)=2x2﹣1;③f(x)=|1﹣2x|
其中存在“可等域区间”的“可等域函数”为( )
A.①
B.②
C.①②
D.①②③
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【题目】如图,直角梯形ABCD与等边△ABE所在的平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=AD=2,F为线段EA上的点,且EA=3EF.
(I)求证:EC∥平面FBD
(Ⅱ)求多面体EFBCD的体积.
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【题目】已知函数f(x)=2x2+(2﹣m)x﹣m,g(x)=x2﹣x+2m.
(1)若m=1,求不等式f(x)>0的解集;
(2)若m>0,求关于x的不等式f(x)≤g(x)的解集.
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【题目】已知函数f(x)=sin(2x+ )﹣cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期及x∈[ , ]时f(x)的值域;
(2)在△ABC中,角A、B、C所对的边为a,b,c,且角C为锐角,S△ABC= ,c=2,f(C+ )= ﹣ .求a,b的值.
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