Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点与两个定点，的距离之比为.

（1）求点的坐标所满足的关系式；

（2）求面积的最大值；

（3）若恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）3；（3）

【解析】

（1）根据题意，结合两点间距离公式，可以得到等式，化简后得到点的坐标所满足的关系式；

（2）设是曲线上任一点，求出的表达式，结合的取值范围，可以求出面积的最大值；

（3）恒成立，则恒成立. 设，当它与圆相切时，取得最大和最小值，利用点到直线距离公式，可以求出取得最大和最小值，最后可以求出实数的取值范围.

（1）设的坐标是，由，得，

化简得.

（2）由（1）得，点在以为圆心，为半径的圆上.

设是曲线上任一点，则，

又，故的最大值为：.

（3）由（1）得：圆的方程是

若恒成立，则恒成立.

设，当它与圆相切时，

取得最大和最小值，

由得：，，

故当时，原不等式恒成立.