Question

3．已知数列{a_n}的通项公式a_n=5-n，其前n项和为S_n，将数列{a_n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b_n}的前3项，记{b_n}的前n项和为T_n，若存在m∈N^*，使对任意n∈N^*，总有S_n＜T_n+λ恒成立，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． λ≥2
• B． λ＞3
• C． λ≥3
• D． λ＞2

Answer 1

分析 通过a_n=5-n可求出T_n=8（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）、S_n=$\frac{n（9-n）}{2}$，利用4≤T_n＜8及S_n≤10，结合题意可知10＜8+λ，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n=5-n，
∴a₁=4，a₂=3，a₃=2，a₄=1，
则b₁=a₁=4，b₂=a₃=2，b₃=a₄=1，
∴数列{b_n}是首项为4、公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴T_n=$\frac{4（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=8（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∴4≤T_n＜8，
又∵S_n=$\frac{n（4+5-n）}{2}$=$\frac{n（9-n）}{2}$，
∴当n=4或n=5时，S_n取最大值10，
∵存在m∈N^*，使对任意n∈N^*，总有S_n＜T_n+λ恒成立，
∴10＜8+λ，即λ＞2，
故选：D．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．