Question

8．（1）已知平面向量$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$，|$\overrightarrow{α}$|=1，$\overrightarrow{β}$=（2，0），$\overrightarrow{α}$⊥（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$），求|2$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$|的值；
（2）已知三个向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$两两所夹的角都为120°，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=3，求向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$与向量$\overrightarrow{a}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{α}$⊥（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$）结合已知求得$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}$，然后求出$|2\overrightarrow{α}+\overrightarrow{β}{|}^{2}$，则|2$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$|的值可求；
（2）由已知分别求出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）•\overrightarrow{a}$及$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$，代入数量积求夹角公式求解．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{α}$|=1，$\overrightarrow{β}$=（2，0），
由$\overrightarrow{α}$⊥（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$），得$\overrightarrow{α}•（\overrightarrow{α}-2\overrightarrow{β}）=|\overrightarrow{α}{|}^{2}-2\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}=0$，
∴$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}=\frac{1}{2}$，
而$|2\overrightarrow{α}+\overrightarrow{β}{|}^{2}=4|\overrightarrow{α}{|}^{2}+4\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}+|\overrightarrow{β}{|}^{2}$=$4+4×\frac{1}{2}+4=10$，
∴|2$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$|=$\sqrt{10}$；
（2）$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）•\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}$=$1+|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|cos120°+|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|cos120°$
=$1+2×1×（-\frac{1}{2}）+3×1×（-\frac{1}{2}）=-\frac{3}{2}$；
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）^{2}}$=$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}+|\overrightarrow{c}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$
$═\sqrt{1+4+9+2×1×2×（-\frac{1}{2}）+2×1×3×（-\frac{1}{2}）+2×2×3×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$．
设向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$与向量$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵θ∈[0，π]，
∴$θ=\frac{5π}{6}$．
即向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$与向量$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了利用数量积求向量的夹角，考查运算能力，是中档题．