Question

2．已知f（x）的图象关于原点对称，且当x∈（-∞，0）时，f（x）-xf′（x）＞0（其中f′（x）是f（x）的导函数），a=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}f（{0.5^{-0.5}}），b=（{log_3}π）f（{log_π}3）$，$c=（{log_9}\frac{1}{3}）f（{log_{\frac{1}{3}}}9）$，则下列关系式正确的是（　　）

• A． c＞a＞b
• B． b＞a＞c
• C． a＞c＞b
• D． a＞b＞c

Answer 1

分析 由已知中f（x）-xf′（x）＞0，结合导数的运算性质（$\frac{u}{v}$）′=$\frac{1}{{v}^{2}}$（u′v-uv′），构造函数h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用h′（x）的符号，判断h（x）的单调性问题很容易解决．

解答 解：令h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∵f（x）的图象关于原点对称，∴h（x）是R上的奇函数，
又∵当x＜0时，f（x）-xf′（x）＞0，∴h′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，
∴函数h（x）在x∈（-∞，0）时为单调递减函数；
∴h（x）在x∈（0，+∞）时的单调性为单调递减函数．a=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}f（{0.5^{-0.5}}），b=（{log_3}π）f（{log_π}3）$，$c=（{log_9}\frac{1}{3}）f（{log_{\frac{1}{3}}}9）$=$\frac{f（-2）}{-2}$，a=$\frac{f（\sqrt{2}）}{\sqrt{2}}$=$\frac{f（-\sqrt{2}）}{-\sqrt{2}}$；b=$\frac{f（-lo{g}_{π}3）}{-lo{g}_{π}3}$；-2＜$-\sqrt{2}$＜-log_π3
可得：c＞a＞b．
故选：A．

点评 本题考查的考点与方法有：1）所有的基本函数的奇偶性；2）抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3）导数的运算法则：（uv）′=u′v+uv′；4）指对数函数的图象；5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反；5）奇偶函数的性质：奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇（同号得正、异号得负）；奇+奇=奇；偶+偶=偶．本题结合已知构造出h（x）是正确解答的关键所在．