Question

11．已知公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=-1，且a₂，a₃，a₆成等比数列．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差d≠0，由a₂，a₃，a₆成等比数列，可得：${a}_{3}^{2}$=a₂a₆，即（-1+2d）²=（-1+d）（-1+5d），解出利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差d≠0，∵a₂，a₃，a₆成等比数列，
∴${a}_{3}^{2}$=a₂a₆，
∴（-1+2d）²=（-1+d）（-1+5d），
化为：d²-2d=0，d≠0，d=2．
∴a_n=-1+2（n-1）=2n-3，
S_n=-n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²-2n．
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（-1-1）+（1-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）]$=$\frac{1}{2}（-1-\frac{1}{2n-1}）$=-$\frac{n}{2n-1}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．