Question

1．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，-5]．

Answer 1

分析 利用函数奇偶性和单调性之间的关系，转化不等式f（x-a）≥f（3x+1）为函数的最值问题，解不等式即可．

解答 解：∵当x≥0时，f（x）=x²，
∴此时函数f（x）单调递增，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数f（x）在R上单调递增，
若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，
则x+a≥3x+1恒成立，即a≥2x+1恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴（2x+1）_max=2（a+2）+1=2a+5，
即a≥2a+5，
解得a≤-5，
即实数a的取值范围是（-∞，-5]；
故答案为：（-∞，-5]；

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质．