Question

10．数列{a_n}满足a₁=3，（a_n+1-2）（a_n+1）+2=0，则a_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-\frac{4}{3}}$．

Answer 1

分析 由（a_n+1-2）（a_n+1）+2=0，可得$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，利用叠加法，结合等比数列的求和公式可得结论．

解答 解：∵（a_n+1-2）（a_n+1）+2=0，
∴$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，
利用叠加法可得$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{{a}_{1}}$+2+2²+…+2^n-1=$\frac{2}{3}$+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=2ⁿ-$\frac{4}{3}$，
∴a_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-\frac{4}{3}}$．
故答案为：$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-\frac{4}{3}}$．

点评 本题考查数列的通项，考查叠加法，等比数列的求和公式，正确变形是关键．