Question

18．家用电脑桌的桌面采用直线与弧线相结合，前部采用弧线，后部改用直线型．现将电脑桌靠在墙边，沿墙面建立如图所示的直角坐标系．弧线EF的方程为y=$\frac{60}{x}$（5≤x≤12）．键盘抽屉所在直线x+y-16=0与弧线交于A，B两点．拟在弧线EF上选取一点P分别作x轴、y轴的垂线．垂足为C，D．四边形OCPD（O为坐标原点）与三角形OAB的公共区域内放置电脑．设点P的坐标为（x，y）．公共部分面积为S．（单位：分米）
（1）求S关于x的表达式：
（2）求S的最大值及此时x的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，A（6，10），B（10，6），分段讨论即可求出相应的解析式；
（2）根据函数的单调性和基本不等式即可求出最值．

解答 解：（1）由题意可知，$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{60}{x}}\\{x+y-16=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=6}\end{array}\right.$，
即A（6，10），B（10，6），
当5≤x≤6时，S=$\frac{8{x}^{2}}{15}$，
当6＜x＜10时，S=60-$\frac{3}{10}$（x²+$\frac{3600}{{x}^{2}}$），
当10≤x≤12时，S=$\frac{1920}{{x}^{2}}$，
故S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{8}{15}{x}^{2}，5≤x≤6}\\{60-\frac{3}{10}（{x}^{2}+\frac{3600}{{x}^{2}}），6＜x＜10}\\{\frac{1920}{{x}^{2}}，10≤x≤12}\end{array}\right.$；
（2）当当5≤x≤6时，S=$\frac{8{x}^{2}}{15}$为单调递增函数，S≤$\frac{96}{5}$，
当6＜x＜10时，S=60-$\frac{3}{10}$（x²+$\frac{3600}{{x}^{2}}$）≤60-$\frac{3}{5}$$\sqrt{{x}^{2}+\frac{3600}{{x}^{2}}}$=24，当且仅当x=2$\sqrt{15}$时取等号
当10≤x≤12时，S=$\frac{1920}{{x}^{2}}$为单调递减函数，S≤$\frac{96}{5}$，
综上，S的最大值为24平方分米，此时x=2$\sqrt{15}$分米．

点评 本题考查函数在实际生活中的应用，考查了数学的建模能力，空间想象能力，数学阅读能力和解决实际问题的能力，属于中档题．