Question

15．已知复数z是方程x²+2x+10=0解，且Imz＜0，若$\frac{a}{z}$+$\overline{z}$=bi（其中a、b为实数，i为虚数单位，）Imz表示z的虚部）；
（I） 求复数w=a+bi的模；
（Ⅱ）若不等式x²+kx-a≥0在x∈[0，5]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在复数集范围内求解一元二次方程得z，代入$\frac{a}{z}$+$\overline{z}$=bi，由复数相等的条件列式求得a，b的值，则复数w=a+bi的模可求；
（Ⅱ）把a代入不等式x²+kx-a≥0，分离参数k，利用基本不等式求最值，则实数k的取值范围可求．

解答 解：（Ⅰ）方程x²+2x+10=0的解为$x=\frac{-2±6i}{2}=-1±3i$，
∵Imz＜0，
∴z=-1-3i，
将z=-1-3i代入$\frac{a}{z}$+$\overline{z}$=bi，得$\frac{a}{-1-3i}-1+3i=bi$，
化简得：a+10=-bi，即a=-10，b=0．
∴w=a+bi=-10，
则|w|=10；
（Ⅱ）不等式x²+kx-a≥0在x∈[0，5]上恒成立，
即kx≥a-x²=-10-x²在x∈[0，5]上恒成立，
x=0时，不等式成立；
当x≠0时，有k≥$-\frac{10}{x}-x$在x∈（0，5]上恒成立，
∵$-\frac{10}{x}-x=-（\frac{10}{x}+x）≤-2\sqrt{10}$，当且仅当x=$\sqrt{10}$时等号成立，
∴$k≥-2\sqrt{10}$．
综上，k的取值范围为[-2$\sqrt{10}$，+∞）．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，训练了函数恒成立问题的求解方法，是中档题．