Question

12．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cost}\\{y=\sqrt{2}sint}\end{array}\right.$（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求l的极坐标方程；
（2）过点M（-$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）任作一条直线交曲线C于A，B两点，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出C的普通方程，根据圆的切线的性质求出切线的斜率，得出切线方程；
（2）根据直线与圆的位置关系可知当AB垂直过M的直径时，AB最短．利用垂径定理计算|AB|．

解答 解：（1）曲线C的普通方程为x²+y²=2，∴曲线C的圆心为O（0，0）．
设P（1，1），则k_PO=1，∴切线l的斜率为-1．
∴直线l的方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0．
∴直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-2=0．
（2）∵（-$\frac{1}{4}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{4}$）²=$\frac{1}{4}＜2$，
∴M在圆C内部．
∴当AB⊥OM时，|AB|最小．
∵|OM|=$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-|O{M|}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴|AB|的最小值为$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题．