Question

17．关于x的方程x²+4|x|+$\frac{2}{{{x^2}+4|x|}}$=3的最大实数根是$\sqrt{6}$-2．

Answer 1

分析 利用换元法设t=x²+4|x|，结合一元二次方程的解法求出t的值，然后再次进行求解即可．

解答 解：由x²+4|x|＞0得|x|（|x|+4）＞0，则x≠0，
设t=x²+4|x|，则t=x²+4|x|=（|x|+2）²-4＞0，
则方程等价为t+$\frac{2}{t}$=3，即t²-3t+2=0，
则（t-1）（t-2）=0，
则t=1或t=2，
当（|x|+2）²-4=1时，得（|x|+2）²=5，
则|x|+2=$\sqrt{5}$，
则|x|=$\sqrt{5}$-2，则x=$\sqrt{5}$-2或x=2-$\sqrt{5}$，
当（|x|+2）²-4=2时，得（|x|+2）²=6，
则|x|+2=$\sqrt{6}$，
则|x|=$\sqrt{6}$-2，则x=$\sqrt{6}$-2或x=2-$\sqrt{6}$，
则最大的实根为$\sqrt{6}-2$，
故答案为：$\sqrt{6}$-2

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次方程，结合一元二次方程的解法是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．