Question

16．设公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（2）设b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，t_n=$\frac{1}{{a}_{{2}^{n-1}}}$，且B_n，T_n分别为数列{b_n}，{t_n}的前n项和，比较B_n与T_n+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$的大小．

Answer 1

分析 （1）由等比数列性质得$（\frac{1}{{a}_{2}}）^{2}=\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{4}}$，由等差数列通项公式得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），由此能求出数列{a_n}的通项公式及S_n．
2）由裂项求和法得到B_n=2（1-$\frac{1}{n+1}$），由等比数列的性质得到T_n=2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），从而得到B_n＜T_n+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

解答 解：（1）设等差数列的公差为d，
∵公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，
$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等比数列，
∴$（\frac{1}{{a}_{2}}）^{2}=\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{4}}$，
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
由d≠0，解得d=1，
∴a_n=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（2）∵S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∵b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，t_n=$\frac{1}{{a}_{{2}^{n-1}}}$，且B_n，T_n分别为数列{b_n}，{t_n}的前n项和，
∴B_n=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
∵t_n=$\frac{1}{{a}_{{2}^{n-1}}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=$\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∴T_n+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=2，
∴B_n＜T_n+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，考查数列有前n项和的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．