Question

12．已知单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$间的夹角为$\frac{2π}{3}$，则|4$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{61}$．

Answer 1

分析 根据题意，由向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的模以及夹角，计算可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值，进而由向量数量积的性质可得|4$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$|²=（4$\overrightarrow{a}$）²-40$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+（5$\overrightarrow{b}$）²，代入计算可得|4$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$|²的值，进而变形可得答案．

解答 解：根据题意，$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$为单位向量，则|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，
又由向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$间的夹角为$\frac{2π}{3}$，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1×1×cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，
|4$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$|²=（4$\overrightarrow{a}$）²-40$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+（5$\overrightarrow{b}$）²=61，
则|4$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{61}$，
故答案为：$\sqrt{61}$．

点评 本题考查向量的数量积运算，关键是熟练掌握并运用数量积的计算公式以及性质．