Question

已知△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=1，动点P从点A开始，沿A→B→C→A运动．
（1）求PA的长y与点P所走路程x的函数关系式y=f（x）；
（2）若f（a）=1，求a的值；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）结合图象可得，当0≤x≤1时，f（x）=x，当1＜x＜2时，f（x）=P′A=

12+(x-1)2

=

x2-2x+2

，当2≤x≤2+

2

时，f（x）=P″A=2+

2

-x，综合可得；
（2）分别令每一段等于1，解得a值验证可得；
（3）分别求每一段的值域，综合可得．

解答： 解：（1）（如图）由题意可得，当0≤x≤1时，f（x）=x，
当1＜x＜2时，f（x）=P′A=

12+(x-1)2

=

x2-2x+2

，
当2≤x≤2+

2

时，f（x）=P″A=2+

2

-x，
∴f（x）=

x，0≤x≤1 x2-2x+2 ，1＜x＜2 2+ 2 -x，2≤x≤2+ 2

（2）令f（a）=1，可得a=1符合题意，
令

a2-2a+2

=1解得a=2，或a=0，均不满足1＜a＜2，
令2+

2

-a=1解得a=1+

2

符合题意，
故a=1，或a=1+

2

（3）由（1）知f（x）=

x，0≤x≤1 x2-2x+2 ，1＜x＜2 2+ 2 -x，2≤x≤2+ 2

，
可知当0≤x≤1时，0≤f（x）≤1，
当1＜x＜2时，f（x）=

12+(x-1)2

∈（1，

2

）
当2≤x≤2+

2

时，f（x）=2+

2

-x∈[0，

2

]
综上可得函数f（x）的值域为：[0，

2

]

点评：本题考查函数解析式的求解，涉及函数值域的求解，属基础题．