Question

已知点P（x₀，y₀）在直线x+y-2=0上，若圆O：x²+y²=1（O为坐标原点）上存在点Q使得∠OPQ=30°，则x₀的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：根据圆的切线的性质，可知当过P点作圆的切线，切线与OP所成角是圆上的点与OP所成角的最大值，所以只需此角大于等于30°即可，此时半径，切线与OP构成直角三角形，因为切线与OP所成角大于等于30°所以OP小于等于半径的2倍，再用含x₀的式子表示OP，即可求出x₀的取值范围．

解答： 解：过P作⊙C切线交⊙C于R，
根据圆的切线性质，有∠OPR≥∠OPQ=30°．
反过来，如果∠OPR≥30°，
则⊙C上存在一点点Q使得∠OPQ=30°．
∴若圆C上存在点Q，使∠OPQ=30°，
则∠OPR≥30°．
∵|OR|=1，
∴|OP|＞2时不成立，
∴|OP|≤2．
又∵|OP|²=x₀²+y₀2=x₀²+（x₀-2）²=2x₀²-4x₀+2
∴2x₀²-4x₀+2≤2，
解得，0≤x₀²≤2．
∴x₀的取值范围是[0，2]
故答案为：[0，2]．

点评：本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，计算能力，属于中档题．