Question

【题目】如图，在矩形中，AB=2AD，为DC的中点，将△ADM沿AM折起使平面ADM⊥平面ABCM.

（1）当AB=2时，求三棱锥的体积；

（2）求证：BM⊥AD.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）取AM的中点N，连接DN，易证得DN⊥平面ABCM，由，只需计算和即可；

（2）可证BM⊥DN和BM⊥AM，从而证得BM⊥平面ADM，从而得证.

试题解析：

（1）取AM的中点N，连接DN.

∵在矩形中，为DC的中点，AB=2AD，∴DM=AD.

又N为AM的中点，∴DN⊥AM.

又∵平面ADM⊥平面ABCM，平面，平面ADM，

∴DN⊥平面ABCM.

∵AD=1，∴.

又，∴.

证明：（2）由（1）可知，DN⊥平面ABCM.

又平面ABCM，∴BM⊥DN.

在矩形中，AB=2AD，M为MC中点，

∴△ADM，△BCM都是等腰直角三角形，且∠ADM=90°，∠BCM=90°，∴BM⊥AM.

又DN，平面ADM，，∴BM⊥平面ADM.

又平面ADM，∴BM⊥AD.