Question

11．若曲线C₁：x²+y²-2x=0与曲线C₂：y（y-mx-m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• B． （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）
• C． [-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
• D． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，直线过定点（-1，0），当直线y-mx-m=0与圆相切时，根据圆心到直线的距离d=$\frac{2|m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=r=1，求出m的值，数形结合求出实数m的取值范围．

解答 解：由题意可知曲线C₁：x²+y²-2x=0表示一个圆，
化为标准方程得：（x-1）²+y²=1，
所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；
C₂：y（y-mx-m）=0表示两条直线y=0和y-mx-m=0，
由直线y-mx-m=0可知：此直线过定点（-1，0），
在平面直角坐标系中画出图象如图所示：
当直线y-mx-m=0与圆相切时，
圆心到直线的距离d=$\frac{2|m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=r=1，
化简得：m²=$\frac{1}{3}$，m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
则直线y-mx-m=0与圆相交时，
m∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
故选：D．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．