Question

19．设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x²，则不等式（x+2017）²f（x+2017）-9f（-3）＞0的解集（　　）

• A． （-∞，-2010）
• B． （-∞，-2014）
• C． （-2014，0）
• D． （-2020，0）

Answer 1

分析 根据题意，令g（x）=x²f（x），x∈（-∞，0），对g（x）求导分析可得g（x）在（-∞，0）递减，原问题转化为g（2017+x）＞g（-3），根据函数的单调性得到关于x的不等式组，解出即可．

解答 解：根据题意，令g（x）=x²f（x），x∈（-∞，0），
故g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
而2f（x）+xf'（x）＞x²，
故x＜0时，g′（x）＜0，g（x）递减，
（x+2017）²f（x+2017）-9f（-3）＞0，即（x+2017）²f（x+2017）＞（-3）²f（-3），
则有g（x+2017）＞g（-3），
则有x+2017＜-3，
解可得x＜2020；
即不等式（x+2017）²f（x+2017）-9f（-3）＞0的解集为（-∞，-2010）；
故选：A．

点评 本题考查函数的单调性与导数的关系，关键是构造函数g（x）=x²f（x），并利用导数分析g（x）的单调性．