Question

在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，满足

a+c

b

=

sinA-sinB

sinA-sinC

（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=

7

，且△ABC的面积为

3 3

2

，求a+b的值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理的应用

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）运用正弦定理，将角化为边，再由余弦定理，即可得到角C；
（Ⅱ）运用三角形的面积公式，可得ab=6，再由余弦定理，配方可得a+b．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理

a+c

b

=

sinA-sinB

sinA-sinC

即为

a+c

b

=

a-b

a-c

，即b（a-b）=（a+c）（a-c），
即有a²+b²-c²=ab，
由余弦定理可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

，
由于C为三角形的内角，则C=

π

3

；              
（Ⅱ）c²=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-ab，
即有a²+b²-ab=7，
即（a+b）²-3ab=7，
S_△ABC=

1

2

absin60°=

3 3

2

，
即ab=6，
则（a+b）²=7+3ab=7+18=25，
则有a+b=5．

点评：本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．