Question

【题目】设函数.

（I）当a=1时，证明在是增函数；

（Ⅱ）若当时，，求a取值范围.

Answer 1

【答案】（I）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）当a＝1时，求得f′（x）（x＞0）．令g（x）＝ex﹣1﹣x，求出g（x）的导函数，分析g（x）的单调性，求得g（x）有最小值0，从而可得g（x）≥0，即f′（x）≥0，则f（x）在（0，+∞）是增函数；

（Ⅱ）设h（x）＝f（x+1）＝ln（x+1）+ae﹣x﹣a（x＞0），求其导函数，得h′（x）．令p（x）＝ex﹣a（x+1），对a分类分析p（x）的符号，得到h（x）的单调性，从而求得满足f（x+1）＞0时a的取值范围．

（Ⅰ）当a＝1时，f′（x）（x＞0）．

令g（x）＝ex﹣1﹣x，g′（x）＝ex﹣1﹣1，

由g′（x）＝0，可得x＝1．

当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

∴当x＝1时，g（x）min＝g（1）＝0，即g（x）≥0，

∴f′（x）≥0，则f（x）在（0，+∞）是增函数；

（Ⅱ）解：设h（x）＝f（x+1）＝ln（x+1）+ae﹣x﹣a（x＞0），

h′（x）．

令p（x）＝ex﹣a（x+1），则p′（x）＝ex﹣a．

①当a≤1时，p′（x）＞e0﹣a＝1﹣a≥0，

∴p（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴p（x）＞p（0）＝1﹣a≥0．

∴h′（x）＞0，

∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，

则h（x）＞h（0）＝0，结论成立；

②当a＞1时，由p′（x）＝0，可得x＝lna，

当x∈（0，lna）时，p′（x）＜0，p（x）单调递减，

又p（0）＝1﹣a＜0，

∴x∈（0，lna）时，p（x）＜0恒成立，

即h′（x）＜0．

∴x∈（0，lna）时，h（x）单调递减，

此时h（x）＜h（0）＝0，结论不成立．

综上，a≤1．