Question

5．【文】设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（a＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其一条渐近线与圆（x-a）²+y²=4相切于点M，则△F₁MF₂的面积为（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 利用渐近线与圆（x-a）²+y²=4相切，求出a，进而可得M的坐标，即可求出△F₁MF₂的面积．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，即2$\sqrt{2}$x-ay=0，
∵渐近线与圆（x-a）²+y²=4相切，
∴$\frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{8+{a}^{2}}}$=2，
∴a=2$\sqrt{2}$，
∴c=4，
直线MF₂的方程为y=-（x-4）与y=x联立，可得M（2，2），
∴△F₁MF₂的面积为$\frac{1}{2}•8•2$=8，
故选：C．

点评 本题考查求△F₁MF₂的面积，考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．