【题目】已知直三棱柱中所有棱长都相等,
、
分别为
、
的中点.现有下列四个结论:
;
;
平面
;
异面直线
与
所成角的正弦值是
.
其中正确的结论是( )
A.,
B.
,
C.,
D.
,
【答案】D
【解析】
根据空间平行线的传递性可判断命题的正误;求出异面直线
与
所成角的余弦值,可判断命题
的正误;利用线面垂直的判定定理可判断命题
的正误;求出异面直线
与
所成角的正弦值,可判断命题④的正误.综合可得出结论.
对于命题,分别取
、
、
的中点
、
、
,连接
、
、
,
、
分别为
、
的中点,
,同理
,
,
,
若,则
,事实上
与
相交,所以,命题
错误;
对于命题,取
的中点
,连接
、
、
,
设正三棱柱的所有棱长为
,
且
,
、
分别为
、
的中点,
且
,
四边形
为平行四边形,所以,
且
,
平面
,
平面
,
平面
,
,
易知,
,
,同理
,
由余弦定理得,
,
,所以,异面直线
与
所成角为
的补角,其余弦值为
,
所以,与
不垂直,命题
错误;
对于命题,连接
、
、
,
四边形
为正方形,所以,
,
,
,
为等边三角形,
为
的中点,
,
平面
,
平面
,
,
,
平面
,
平面
,
,
,
平面
,命题
正确;
对于命题,连接
,设正三棱柱
的所有棱长为
,
易得,
,
由余弦定理得,
,
,所以,异面直线
与
所成的角为
,其正弦值为
,命题
正确.
故选:D.
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【题目】已知数列的前
项和为
,且点
在函数
的图像上;
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足:
,
,求
的通项公式;
(3)在第(2)问的条件下,若对于任意的,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
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【题目】某机构对某市工薪阶层的收入情况与超前消费行为进行调查,随机抽查了200人,将他们的月收入(单位:百元)频数分布及超前消费的认同人数整理得到如下表格:
月收入(百元) | ||||||
频数 | 20 | 40 | 60 | 40 | 20 | 20 |
认同超前消费的人数 | 8 | 16 | 28 | 21 | 13 | 16 |
(1)根据以上统计数据填写下面列联表,并回答是否有99%的把握认为当月收入以8000元为分界点时,该市的工薪阶层对“超前消费”的态度有差异;
月收入不低于8000元 | 月收入低于8000元 | 总计 | |
认同 | |||
不认同 | |||
总计 |
(2)若从月收入在的被调查对象中随机选取2人进行调查,求至少有1个人不认同“超前消费”的概率.
参考公式:(其中
).
附表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】有三张形状、大小、质地完全一致的卡片,在每张卡片上写上0,1,2,现从中任意抽取一张,将其上数字记作x,然后放回,再抽取一张,其上数字记作y,令.求:
(1)所取各值的分布列;
(2)随机变量的数学期望与方差.
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【题目】已知动圆过定点
,且圆心
到直线
的距离比
大
.
(1)求动圆圆心的轨迹
的方程;
(2)已知轨迹与直线
相交于
两点.试问,在
轴上是否存在一个定点
使得
是一个定值?如果存在,求出定点
的坐标和这个定值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】经调查统计,网民在网上光顾某淘宝小店,经过一番浏览后,对该店铺中的三种商品有购买意向.该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动.已知某网民购买
商品的概率分别为
,
,
,至少购买一种的概率为
,最多购买两种的概率为
.假设该网民是否购买这三种商品相互独立.
(1)求该网民分别购买两种商品的概率;
(2)用随机变量表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数,求
的分布列.
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【题目】某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛考试,用X表示其中男生的人数.
(1)请列出X的分布列;
(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率.
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