Question

13．数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n≥1且n∈z）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n，结合已知条件，推出数列{S_n}是首项为1，公比为3的等比数列，求出S_n，然后求解通项公式．
（2）利用错位相减法，求解数列的和即可．

解答 解：（1）∵a_n+1=2S_n，
∴S_n+1-S_n=2S_n，
∴$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$=3，
又∵S₁=a₁=1，
∴数列{S_n}是首项为1，公比为3的等比数列，S_n=3^n-1（n∈N*）．
∴当n≥2时，a_n=2S_n-1=2•3^n-2（n≥2），
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
当n=1时，T₁=1；
当n≥2时，T_n=1+4•3⁰+6•3¹+2n•3^n-2，…①
3T_n=3+4•3¹+6•3²+…+2n•3^n-1，…②
①-②得：-2T_n=-2+4+2（3¹+3²+…+3^n-2）-2n•3^n-1
=2+2•$\frac{3（1-{3}^{n-2}）}{1-3}$-2n•3^n-1=-1+（1-2n）•3^n-1，
∴T_n=$\frac{1}{2}$+（n-$\frac{1}{2}$）3^n-1（n≥2），
又∵T₁=a₁=1也满足上式，
∴T_n=$\frac{1}{2}$+（n-$\frac{1}{2}$）3^n-1（n∈N*）．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．