Question

2．如图AB是圆O的直径，点C是弧AB上一点，VC垂直圆O所在平面，D，E分别为VA，VC的中点．
（1）求证：DE⊥VB；
（2）若VC=CA=6，圆O的半径为5，求点E到平面BCD的距离．

Answer 1

分析 （1）利用直径对直角，得出AC⊥BC，再由直线VC⊥AC，证明AC⊥平面VBC，再由ED∥AC，得出ED⊥平面VBC，从而证明VB⊥DE；
（2）利用等体积法，得到V_E-BC=V_B-CDE，即可求出点点到平面BCD的距离．

解答 证明：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，
∴AC⊥BC，
又直线VC垂直于⊙O所在的平面，
∴VC⊥AC，
又VC∩BC=C，∴AC⊥平面VBC；
又D、E分别是VA、VC的中点，
∴ED∥AC，
∴ED⊥平面VBC，
又VB?平面VBC，
∴VB⊥DE
（2）设点E到平面BCD 的距离为d，
由V_E-BC=V_B-CDE得$\frac{1}{3}$d•S_△BCD=$\frac{1}{3}$×8×$\frac{1}{2}$×3×3=12
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$×8×3$\sqrt{2}$=12$\sqrt{2}$
解得d=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
即点E到平面BCD的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直共线的应用问题，也考查了逻辑思维与空间想象能力，属于中档题．