Question

10．已知A、B是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足2|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|≤|$\overrightarrow{AB}$|，则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）

• A． 1＜e≤2
• B． e≥2
• C． 1＜e≤$\sqrt{2}$
• D． e≥$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用向量平行四边形法则可得：$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=$2\overrightarrow{PO}$，又$|\overrightarrow{PO}|$≥a，根据双曲线上存在点P满足2|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|≤|$\overrightarrow{AB}$|，代入即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=$2\overrightarrow{PO}$，在双曲线上存在点P满足2|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|≤|$\overrightarrow{AB}$|，
∴$4|\overrightarrow{PO}|$≤2c，又$|\overrightarrow{PO}|$≥a，
∴2a≤c，解得e≥2．
故选：B．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．