Question

19．奇函数f（x）是R上的函数，且当x＞0时，函数的解析式为$f（x）=\frac{2}{x}-1$
（1）求当x＜0时，函数的解析式．
（2）用分段函数形式写出函数f（x）在R上的解析式．当f（a）=3时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用函数f（x）是奇函数，当x＞0时，函数的解析式为$f（x）=\frac{2}{x}-1$，可求x＜0时，函数的解析式．
（2）由f（x）是奇函数，f（0）=0，综合（1）可得f（x）在R上的解析式，根据定义域范围不同，将a带入不同的解析式，由f（a）=3，求a的值．

解答 解：（1）f（x）是R上的奇函数，f（-x）=-f（x），当x＞0时，函数的解析式为$f（x）=\frac{2}{x}-1$，
当x＜0时，则-x＞0，可得f（-x）=$\frac{2}{-x}-1$=-f（x）
∴f（x）=$\frac{2}{x}+1$．
故得当x＜0时，函数的解析式为f（x）=$\frac{2}{x}+1$．
（2）f（x）是R上的奇函数，则有f（0）=0．
∴f（x）在R上的解析式为$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{x}-1，（x＞0）}\\{0，（x=0）}\\{\frac{2}{x}+1，（x＜0）}\end{array}\right.$，
①f（a）=3，即$\frac{2}{a}-1=3，a＞0$，
解得：a=$\frac{1}{2}$．
②f（a）=3，即$\frac{2}{a}+1=3，a＜0$，无解．
∴当f（a）=3时，a的值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了分段函数的解析式的求法和带值计算的能力．要注意定义域的范围．属于基础题．