Question

11．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AC=$\sqrt{2}$AA₁，则AB₁与CA₁所成角的大小为（　　）

• A． 60°
• B． 105°
• C． 75°
• D． 90°

Answer 1

分析 以A为原点，过A在平面ABC内作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB₁与CA₁所成角的大小．

解答 解：以A为原点，过A在平面ABC内作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AC=$\sqrt{2}$AA₁=2$\sqrt{2}$，
则A（0，0，0），C（0，2$\sqrt{2}$，0），A₁（0，0，2），B₁（$\sqrt{6}$，$\sqrt{2}$，2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{6}，\sqrt{2}，2$），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（0，-2$\sqrt{2}$，2），
设AB₁与CA₁所成角的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{C{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{C{A}_{1}}|}$=0，
∴AB₁与CA₁所成角的大小为90°．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．